哥德尔、艾舍尔、巴赫

哥德尔不完备定理

• 2条定理
• 任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推演不能得到所有真命题（即体系是不完备的）。
• 任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性。
• 希尔伯特计划: 这个计划的主要目标，是为全部的数学提供一个安全的理论基础。具体地，这个基础应该包括：
• 所有数学的形式化。意思是，所有数学应该用一种统一的严格形式化的语言，并且按照一套严格的规则来使用。
• 完备性。我们必须证明以下命题：在形式化之后，数学里所有的真命题都可以被证明（根据上述规则）。
• 相容性。我们必须证明：运用这一套形式化和它的规则，不可能推导出矛盾。
• 保守性。我们需要证明：如果某个关于“实际物”的结论用到了“假想物”（如不可数集合）来证明，那么不用“假想物”的话我们依然可以证明同样的结论。
• 确定性。应该有一个算法，来确定每一个形式化的命题是真命题还是假命题。
• 希尔伯特第二问题，是希尔伯特的23个问题之一，即关于一个公理系统相容性的问题，也就是判定一个公理系统内的所命题是彼此相容无矛盾的，希尔伯特希望能以严谨的方式来证明任意公理系统内命题的相容性。